说在前面

微积分由于刚刚学习，所以趁着有印象赶快整理下来

本文章适合入门，其实文章里面大部分都是有关于导数的内容，积分内容只有两个

平均变化率

概念：一般的，已知函数y=f（x），x0，x1是其定义域不同的两点，记作： $\Delta$ x=x1-x0

　　　$\Delta$y=y1-y0=f（x1）-f（x0）=f（x0+$\Delta$x）-f（x1）

　　　则当$\Delta$x!=0时，商$\dfrac {\Delta y}{\Delta x}$=$\dfrac {f\left( x_{0}+\Delta x\right) -f\left( x_{0}\right) }{\Delta x}$

　　　称函数y=f（x）在区间[x0,x0+$\Delta$x](或[x0+$\Delta$x,x0])的平均变化率

例题：1.求函数y=x^2在区间[x0,x0+$\Delta$x]的平均变化率

　　　2.求函数y=$\dfrac {1}{x}$在区间[x0,x0+$\Delta$x]的平均变化率

瞬时变化率

概念：当$\Delta$x趋近于0时，平均变化率$\dfrac {\Delta y}{\Delta x}$=$\dfrac {f\left( x_{0}+\Delta x\right) -f\left( x_{0}\right) }{\Delta x}$趋近于一个常数l

　　　那么称函数l为函数y=f（x）在点x0的瞬时变化率

记作：当$\Delta$x ——> 0时，$\dfrac {f\left( x_{0}+\Delta x\right) -f\left( x_{0}\right) }{\Delta x}$ ——> l

　　　即$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f_{c}\left( x_{0}+\Delta x\right) -f\left( x_{0}\right) }{\Delta x}=l$

f（x）在点x0处的导数

概念：函数y=f（x）在点x0的瞬时变化率

　　　通常称为f（x）在点x0处的导数，并记作$f'\left( x_{0}\right)$

$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f_{c}\left( x_{0}+\Delta x\right) -f\left( x_{0}\right) }{\Delta x}=f'\left( x_{0}\right)$

导数定义

概念：如果f（x）在开区间（a，b）内每一点x都是可导的，称f（x）在区间（a，b）可导

　　　区间（a，b）的每个值都对应一个确定的导数$f'\left( x\right)$

　　　于是在区间（a，b）内，$f'\left( x\right)$可构成一个新函数

　　　称为y=f（x）的导函数，记作$f'\left( x\right)$通称导数

例题：1.火箭竖直向上发射，熄火时向上速度达到100m/s

　　　试问熄火多长时间火箭上上速度为$0$

　　　2.圆S=π r^2，周长l=2πr求之间的关系

导数的几何意义

概念：通过直线和曲线图像我们可以得知两线有割线也有切线

　　　显然，我们可以知道割线的斜率就是平均变化率

　　　当割线成为切线的时候$\Delta$x ——>$0$，割线斜率趋近于切线斜率

　　　即$\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {f_{c}\left( x_{0}+\Delta x\right) -f\left( x_{0}\right) }{\Delta x}=f'\left( x_{0}\right)$

例题：1.求抛物线$y=x^{2}$在点（x0，f（x0））的导数的切线的斜率等于$f'\left( x_{0}\right)$

　　　2.求双曲线$y=\dfrac {1}{x}$在点（2,1/2）的切线方程

导数的运算

常值函数的导数：

　　　　　　　　　$y=f\left( x\right) \equiv c$（c为常数）

　　　　　　　　　$y'=f'\left( x\right) =C'=\lim _{\Delta x\rightharpoonup 0}\dfrac {c-c}{\Delta x}=0$

根据以上的方法我们可以得到几个式子　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　y=x　　　y'=x'=1

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$y=x^{2}$　　　$y=\left(x^{2}\right)'＝2x$

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$y=\dfrac {1}{x}$　　　$y'=-\dfrac {1}{x^{2}}$

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$y=x^{3}$　　　$y'=3x^{2}$

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　$y=\sqrt {x}$　　　$y'=\lim _{\Delta x\rightarrow 0}\dfrac {\sqrt {x_{0}+\Delta }x-\sqrt {x_{0}}}{\Delta x}$

基本初等函数的公示表

TIM图片20190320144352.jpg

导数的四则运算

1.函数和或差的求法

$\left[ f\left( x\right) \pm g\left( x\right) \right] '=f'\left( x\right) \pm g'\left( x\right)$

2.函数积的求法

$\left[ t\left( x\right) \cdot g\left( x\right) \right] '=f'\left( x\right) \cdot g\left( x\right) +g'\left( x\right) \cdot f\left( x\right)$

3.函数商的求法

$\left[ \dfrac {f\left( x\right) }{g\left( x\right) }\right]' =\dfrac {f'\left( x\right) g\left( x\right) -f\left( x\right) g'\left( x\right) }{g^{2}\left( x\right) }$